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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

11. Computably Enumerable and Arithmetic Sets

verfasst von : David Marker

Erschienen in: An Invitation to Mathematical Logic

Verlag: Springer Nature Switzerland

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Abstract

We introduce the computably enumerable sets and the arithmetic sets and show that the form a hierarchy. These results, and the existence of computably inseparable computably enumerably sets, will be used in our approach to the Incompleteness Theorem. We briefly study Kolmogorov randomness as another avatar of incompleteness phenomena.

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Fußnoten
1
Many-one reductions with polynomial time computable f play an important role in computational complexity theory (see, for example, [74]).
 
2
The superscript 0 indicates that we only quantify over \({\mathbb {N}}\). In more advanced computability theory and descriptive set theory, we also allow quantification over subsets of \({\mathbb {N}}\) or \({\mathbb R}\) and consider \(\Sigma ^1_n\) and \(\Pi ^1_n\)-sets, though they will not arise in this book. Nevertheless, we use the \(\Sigma ^0_n\) notation to distinguish the subsets of \({\mathbb {N}}\) from the \(\Sigma _n\)-formulas that will be discussed in Part IV—though these end up being intimately related.
 
3
Here ZFC could be replaced by PA or any other true recursively axiomatized theory of arithmetic or set theory.
 
Literatur
19.
Downey, R., Hirschfeldt, D.: Algorithmic Randomness and Complexity. Theory and Applications of Computability. Springer, New York (2010)
59.
Li, M., Vetányi, P.: An Introduction to Kolmogorov Complexity and its Applications. Texts in Computer Science. Springer, Cham (2019)
70.
Monin, B., Patey, L.: Turing degrees/Algorithmic Randomness/Reverse Mathematics/Higher Computability Theory. (in preparation)
74.
Papadimitriou, C.: Computational Complexity. Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1994)
Metadaten
Titel
Computably Enumerable and Arithmetic Sets
verfasst von
David Marker
Copyright-Jahr
2024
Buch
An Invitation to Mathematical Logic

Print ISBN: 978-3-031-55367-7

Electronic ISBN: 978-3-031-55368-4

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-55368-4_11

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