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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

9. Models of Computation

verfasst von : David Marker

Erschienen in: An Invitation to Mathematical Logic

Verlag: Springer Nature Switzerland

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Abstract

Register machines are introduced as a machine-based model of computation. We show that register machines compute exactly the class of general recursive functions and formulate the Church–Turing thesis that this is exactly the collection of computable functions.

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Fußnoten
1
See [43] for a survey of DNA-based computing and [73] for a survey on quantum computing. Either type of computation can be simulated on a classical computing device, so we gain no new computable functions.
 
2
We will not address here the notion of feasibility of computation. It is possible to get a polynomial speedup by switching, say, from a Turing machine to a register machine. Adding probabilistic computations seems also to increase efficiency. An extended form of the Church–Turing Thesis says that this is all that is possible. Namely, that any realistic model of computation is polynomial time reducible to probabilistic register machines or Turing machines. That quantum computers can efficiently factor is, likely, a refutation of the strong form of the thesis.
 
3
Inside the primitive recursive functions, we can do bounded searches, see Exercise 9.33.
 
4
We will give a second proof that this function is computable in Chap. 10.
 
5
Think of any time we use the Church–Turing Thesis as a challenge, namely, when we assert something is computable we are asserting that, for a large enough wager, we could produce a register machine program or a recursive definition.
 
6
For a different construction, let G be as in \((*)\), and let \(g_0,g_1,\dots \) be defined by \(g_n(m)=G(n,m)\). Each \(g_i\) is primitive recursive, and Raphael Robinson [82] showed that every primitive recursive function is majorized by some \(g_i\). It follows that the function \(h(n)=g_n(n)\) is a computable function that is not primitive recursive.
 
Literatur
12.
Church, A.: The Calculi of Lambda-Conversion. Annals of Mathematics Studies, No. 6. Princeton University Press, Princeton (1941)
13.
29.
Gödel, K.: Zum entscheidungsproblem des logischen funktionenkalküls. Monatsh. Math. Phys. 40(1), 433–443 (1933)MathSciNetCrossRef
43.
Kari, L., Seki, S., Sosík, P.: DNA computings–foundations and implications. In: Handbook of Natural Computing, pp. 1073–1127. Springer, New York (2012)
73.
Nielsen, M., Chuang, I.: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge (2000)
82.
89.
Shepherdson, J., Sturgis, H.: Computability of recursive functions. J. Assoc. Comput. Mach. 10, 217–255 (1963)MathSciNetCrossRef
101.
Turing, A.: On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem. Proc. Lond. Math. Soc. (2) 42(3), 230–265 (1936)
Metadaten
Titel
Models of Computation
verfasst von
David Marker
Copyright-Jahr
2024
Buch
An Invitation to Mathematical Logic

Print ISBN: 978-3-031-55367-7

Electronic ISBN: 978-3-031-55368-4

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-55368-4_9

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