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Erschienen in:

2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

On the Asymptotical Description of Soliton Solutions to the Matrix Modified Korteweg-de Vries Equation

verfasst von : Sandra Carillo, Cornelia Schiebold

Erschienen in: Advances in Nonlinear Dynamics, Volume III

Verlag: Springer Nature Switzerland

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Abstract

This article is a sequel to [3, 4] on explicit solutions of the

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As a remark, the fact that the unshifted 1-soliton solutions do not appear with geometric centre in $x+k^2t =0$ is due to an initial shift incorporated in Theorem 2 (for $N=1$) by the factor $1/(2k)$ in the matrix function L.

Lemma: For a $\mathsf {d}\times \mathsf {d}$-block A such that $I_{\mathsf {d}}+A$ is invertible, it holds

$$\displaystyle \begin{aligned} \begin{pmatrix} I_{\mathsf{d}}+A & 0 \\ \alpha A & I_{\mathsf{d}} \end{pmatrix}^{-1} = (I_{\mathsf{d}}+A)^{-1} \begin{pmatrix} I_{\mathsf{d}} & 0 \\ -\alpha A & I_{\mathsf{d}}+A \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(by direct verification).

Lemma: For a $\mathsf {d}\times \mathsf {d}$-block matrix A such that $\pm \mathrm {i} I_{\mathsf {d}} - (1-\alpha _1 \alpha _2) A$ is invertible, it holds

$$\displaystyle \begin{aligned} \left( P \pm \mathrm{i} \begin{pmatrix} A & \alpha_2 I_{\mathsf{d}} \\ \alpha_1 A & I_{\mathsf{d}} \end{pmatrix} \right)^{-1} = \Big( \pm \mathrm{i} I_{\mathsf{d}} - (1-\alpha_1 \alpha_2) A \Big)^{-1} \left( P^\perp \pm \mathrm{i} \begin{pmatrix} I_{\mathsf{d}} & - \alpha_2 I_{\mathsf{d}} \\ - \alpha_1 A & A \end{pmatrix} \right) \end{aligned}$$

(by direct verification).

Carillo, S., Schiebold, C.: Noncommutative Korteweg-de Vries and modified Korteweg-de Vries hierarchies via recursion methods. J. Math. Phys. 50, 073510 (2009)MathSciNetCrossRef

Carillo, S., Schiebold, C.: Matrix Korteweg-de Vries and modified Korteweg-de Vries hierarchies: noncommutative soliton solutions. J. Math. Phys. 52, 053507 (2011)MathSciNetCrossRef

Carillo, S., Lo Schiavo, M., Schiebold, C.: Matrix soliton solutions of the modified Korteweg-de Vries equation. In: Lacarbonara, W., Balachandran, B., Ma, J., Tenreiro Machado, J.A., Stepan, G. (eds.) Nonlinear Dynamics of Structures, Systems and Devices, pp. 75–83. Springer, Cham (2020)CrossRef

Carillo, S., Schiebold, C.: Construction of soliton solutions of the matrix modified Korteweg-de Vries equation. In: Lacarbonara, W., Balachandran, B., Leamy, M.J., Ma, J., Tenreiro Machado, J.A., Stepan, G. (eds.) Advances in Nonlinear Dynamics, pp. 481–491. Springer, Cham (2022)CrossRef

Carillo, S., Lo Schiavo, M., Schiebold, C.: N-soliton matrix mKdV solutions: a step towards their classification (2023). Preprint

Gilson, C.R., Nimmo, J.J.C., Sooman, C.M.: Matrix solutions of a noncommutative KP equation and a noncommutative mKP equation. Theor. Math. Phys. 159, 796–805 (2009)CrossRef

Gilson, C.R., Hamanaka, M., Huang, S.-C., Nimmo, J.J.C.: Soliton solutions of noncommutative anti-self-dual Yang–Mills equations. J. Phys. A 53, 404002 (2020)MathSciNetCrossRef

Goncharenko, V.M.: Multisoliton solutions of the matrix KdV equation. Theor. Math. Phys. 126, 81–91 (2001)MathSciNetCrossRef

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Titel: On the Asymptotical Description of Soliton Solutions to the Matrix Modified Korteweg-de Vries Equation
verfasst von: Sandra Carillo
Cornelia Schiebold
Verlag: Springer Nature Switzerland
Buch: Advances in Nonlinear Dynamics, Volume III
Print ISBN: 978-3-031-50634-5

Electronic ISBN: 978-3-031-50635-2

Copyright-Jahr: 2024
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-50635-2_52

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