Vor- und Nachteile einer Lumped-Mass-Modellierung von Förderbändern am Beispiel eines Zwei-Walzensystems

Da bei der Untersuchung der Bandverformung das Verformungsverhalten des Bandes in der Bandebene essenziell ist, muss das verwendete Lumped-Mass-Modell in der Lage sein, diese Bandverformung hinreichend genau abzubilden. Hierfür ist es notwendig, das Förderband in Lauf- und in Walzenachsrichtung entsprechend zu diskretisieren. Abb. 5 zeigt schematisch einen Ausschnitt des Lumped-Mass-Modells des Förderbandes mit einer Diskretisierung von drei Stützstellen in Walzenachsrichtung und jeweils drei Kugeln pro Stützstelle in Laufrichtung. Der Aufbau erfolgt rasterförmig mit richtungsäquidistantem Abstand und starrem Verformungsverhalten der Einzelkugel. Die Verwendung der Kugeln in Kombination mit den zylindrischen Walzensegmenten erlaubt eine einfache analytische Kontaktbeschreibung und -berechnung. Auf die Bestimmung der genutzten Diskretisierung wird in Abschn. 3 näher eingegangen. Innerhalb des Modells ist jede Kugel mit den benachbarten Kugeln über masselose und spielfreie Feder-Dämpfer-Elemente (Bushings) mit 3 translatorischen sowie 3 rotatorischen Steifigkeiten und Dämpfungen verbunden [8]. Daraus ergibt sich ein Flächenmodell des Förderbandes, welches sich an [9, S. 106f.] orientiert und sowohl eine Bandverformung in der Bandebene als auch ein Bandwandern ermöglicht. Grundvoraussetzung für die Bedatung des Förderbandes sind entsprechende Parametervalidierungen der räumlichen Feder-Dämpfer-Elemente (Bushings) auf Basis von Versuchen an realen Förderbandstücken, welche im Vorfeld durchgeführt wurden [10, S. 36–49].

Die Walzen werden als kontinuierlicher Timoshenko-Balken aufgebaut, siehe Abb. 6; [11]. An den Stützstellen des Balkens befinden sich Zylinder ohne Freiheitsgrad (0 DOF), um analog zum Förderband, eine einfache, analytische Kontaktgeometrie zu erhalten. Die Fest-Los-Lagerung der Walzen ist über kinematische Bindungen an den Walzenenden realisiert.

Die Interaktion zwischen dem Förderband und der Walze erfolgt über Kontaktdefinitionen zwischen den Zylindern der Walze und den Kugeln des Förderbandes. Wie bereits erwähnt, erlaubt die Modellierung mittels der Grundgeometrien Kugel und Zylinder die Nutzung spezieller und schnell rechnender Kontaktalgorithmen. Es kommt ein nicht verformbarer, analytischer Kugel-zu-Zylinder-Kontakt mit einem Penalty-Ansatz zum Einsatz, um steife Systeme zu verhindern [12]. Die notwendige Kontaktsteifigkeit basiert auf dem Pressungsmodell Kugel-Zylinder nach Hertz und beträgt 60.000 N/mm. Die Kontaktdämpfung von 0,1 Ns/mm wurde mittels einer Parameterstudie virtuell optimiert, um bei geringen Rechenzeiten das Auftreten von negativen Dämpfungskräften, welche physikalisch nicht plausibel sind, zu verhindern. Zudem wurde darauf geachtet, dass keine Beeinflussung des zu untersuchenden Übertragungsverhaltens von Band und Walze vorliegt.

Innerhalb des Kontakts berücksichtigt das Modell zudem Reibung, um das physikalische Modell des Förderbandsystems korrekt abzubilden. Erst damit wird die Ursache der Bandverformung und dessen Auswirkung auf die Form berechenbar. Außerdem müssen die Bereiche des Haftens und Gleitens auf der Walzenmantelfläche bestimmt werden, damit die Dynamik des Systems besser verstanden werden kann [13, S. 311f.]. Hieraus versprechen sich die Autoren Rückschlüsse auf den Verschleiß und die Bestimmung sinnvoller Walzenmodifikationen. Dementsprechend muss das verwendete Reibmodell die Haftbedingung sinnvoll erfüllen und gleichzeitig numerisch handhabbar bleiben.

RecurDyn erlaubt bei dem analytischen Kugel-zu-Zylinder-Kontakt die Verwendung von zwei unterschiedlichen Reibmodellen, dem regularisierten Reibmodell und dem Stick-Slip-Reibmodell [15]. Beide Ansätze generieren aufgrund einer Relativgeschwindigkeit v_G der Kontaktpartner einen Reibwert. Bei dem regularisierten Reibmodell wird die in Abb. 7b dargestellte Kennlinie verwendet. Über die statische und die dynamische Threshold Velocity v_ST bzw. v_DT sowie über den Haft- und den Gleitreibwert μ_s bzw. μ_d, wird die Reibkennlinie bestimmt. Ist der Betrag der Kontaktgleitgeschwindigkeit v_G größer als die statische Threshold Velocity v_ST, befindet sich das Reibmodell im Gleitbereich. Das regularisierte Reibmodell kann aber kein echtes Haften abbilden, da bei Kontaktgleitgeschwindigkeiten \(v_{G}=0\) kein Reibwert und somit keine Reibkraft generiert wird [16, S. 74]. Auch bei Gleitgeschwindigkeit \(v_{G}< v_{\mathrm{ST}}\) wird in Abhängigkeit von v_G ein Reibwert berücksichtigt, der kleiner als der Haftreibwert ist. Die Regularisierung der Reibkennlinie ist notwendig, da die Verwendung der nicht stetigen Coulombschen Reibkennlinie zu numerischen Problemen im Bereich der Singularität führt [16, S. 74]. Um den Effekt des Haftens besser abbilden zu können, besitzt das Stick-Slip-Reibmodell von RecurDyn eine zusätzliche Abhängigkeit zur tangentialen Auslenkung der Kontaktpartner, der Haftverformung \(\Updelta\), siehe Abb. 7a, [15]. Dadurch kann auch bei einer Kontaktgleitgeschwindigkeit \(v_{G}=0\) ein Reibwert größer als Null und somit eine Reibkraft aufgegeben werden. Der maximale Haftreibwert μ_s wird bei der maximalen Haftverformung \(\Updelta _{\max }\) sowie bei v_ST erreicht. Eine weitere Zunahme der Auslenkung der Kontaktparameter hat keinen zusätzlichen Anstieg des Reibwerts zur Folge. Durch die zweiparametrische Abhängigkeit des Reibwerts ergibt sich das in Abb. 7c dargestellte Reibkennfeld. Für die maximale Haftverformung \(\Updelta _{\max }=0\) ergibt sich die bekannte Reibkennlinie des regularisierten Reibmodells. Die Grenzen des Stick-Slip-Reibmodells liegen in einer stark vereinfachten Stribeck-Kurve, da z. B. kein Temperatureinfluss berücksichtigt wird. Alternative Reibmodelle sind in [14] und [17] aufgeführt und Forschungsgegenstand der Autoren. Letztere soll insbesondere die Möglichkeiten eines Reibmodells zweiter Ordnung untersuchen und ggf. auf den Anwendungsfall des Zwei-Walzensystems übertragen werden.

Weil das regularisierte Reibmodell kein echtes Haften abbilden kann und so keine Haft- und Gleitbereiche auf der Mantelfläche der Walzen determiniert, werden können, muss das Stick-Slip-Reibmodell verwendet werden. Für die Untersuchungen werden die in Tab. 1 angegebenen Parameter des Reibmodells verwendet. Die Reibwerte sind experimentellen Voruntersuchungen an äquivalenten Förderbändern entnommen. Die statische und die dynamische Threshold Velocity sind Erfahrungswerte und bilden einen sehr guten Kompromiss zwischen Recheneffizienz und physikalischer Genauigkeit.

Zum Nachweis der grundsätzlichen Aussagefähigkeit des Lumped-Mass-Modells hinsichtlich der Bandverformung zeigt Abb. 8 die normierte Bandverformung in Laufrichtung aufgetragen über der Bandbreite. Die Bandverformung ist auf ihr jeweiliges Maximum und die Bandbreite auf ihre Hälfte normiert. Die markierten Punkte entsprechen den Stützstellen. Die Diskretisierung basiert auf Erfahrungswerten aus Voruntersuchungen. In Walzenachsrichtung werden 9 Stützstellen mit jeweils 150 Kugeln in Laufrichtung verwendet. Die simulierte Bandverformung zeigt das nach Abb. 3c erwartete Verhalten mit einer parabolischen Charakteristik. Gemäß den theoretischen Überlegungen läuft die Mitte des Förderbandes den Rändern in Laufrichtung vor und bestätigt somit die grundsätzliche Anwendbarkeit des Lumped-Mass-Modells.

Die Güte des Lumped-Mass-Modells hängt entscheidend von einer ausreichend feinen Diskretisierung ab. Im Fall des Förderbandes gilt dies in zwei Richtungen, der Laufrichtung und der Walzenachsrichtung. In Abb. 8 ist die Diskretisierung in Walzenachsrichtung anhand der Stützstellen des Polygons klar zu erkennen.

In Bandlaufrichtung ist mit der Diskretisierung zwangsläufig der geometrische Polygoneffekt verbunden. Infolgedessen wird die Kinematik angenähert. Zudem verursacht jedes Auftreffen der Kugel einen Stoßimpuls auf die Walzen, der in der Realität nicht existent ist. Damit verbunden ist eine künstliche Anregung, deren Frequenz und Amplitude von der Diskretisierung in Lauf- und Walzenachsrichtung sowie der dynamischen Systemantwort abhängt, siehe Abb. 9. Daraus folgen Modulationseffekte der Amplitude aufgrund unterschiedlicher kinetischer Energien der Kugeln sowie der Frequenz durch Drehzahlschwankungen des Antriebs und der Eigenschwingung der Kugeln, die zu einem sehr breiten Frequenzspektrum führen [18]. Erschwerend kommt hinzu, dass diese Effekte durch die vorhandene Bandverformung je Stützstellenreihe i unterschiedlich ausfallen können. Im Sinne einer realistischen Modellbildung des Lumped-Mass-Modells, muss dies unbedingt Beachtung finden, sodass keine der künstlichen Anregungen, bestehend aus Grundschwingung und Harmonischen, eine natürliche Eigenfrequenz des Modells anregt, welche in der Realität nie auftritt. Nachfolgend soll daher der Einfluss der Diskretisierung in Laufrichtung untersucht werden. Hierfür werden die in der Tab. 2 aufgelisteten Simulationsvarianten verwendet. Bei allen Simulationen wurde eine maximal zulässige Zeitschrittweite von \(1{,}0\cdot 10^{-4}\) und eine Fehlertoleranz von \(1{,}0\cdot 10^{-7}\), in Kombination mit einem i7-9800K mit 3,8 GHz bei 64 GB RAM für die Simulationsvariante 2 bis 5 und einem Xeon W‑2125 mit 4 GHz bei 32 GB RAM für die Simulationsvariante 1, verwendet.

Es zeigt sich, dass der Anstieg m₃ etwas flacher ausfällt. Dies führt in Kombination mit einer annähernd gleichbleibenden Bandverformung im mittleren Bereich zu einer geschwungeneren Form im Randbereich der Simulationsvariante 3. Der Effekt des Einflusses der Diskretisierung auf die Bandverformung am Rand könnte insbesondere bei Bändern von Bedeutung werden, bei denen die Verformung durch konstruktive Maßnahmen an den Rändern beschränkt wird. In diesem Fall wäre eine Diskretisierung denkbar, die sich an dem Gradienten der Bandverformung orientiert. Vom Rand zur Mitte würde der Abstand der Stützstellen größer werden und damit zu einer nicht äquidistanten Verteilung führen. Deshalb ist stets eine Konvergenzanalyse erforderlich, um die individuelle Diskretisierung zu bestimmen und die Ergebnisqualität abzusichern.

In welchem Maß sich die Diskretisierung auf das untersuchte Modell auswirkt, wird anhand des Drehzahlsignals der Spannwalze für die Simulationsvarianten 4, 5 und 2 im Zeit- und Frequenzbereich untersucht, siehe Abb. 12. Die Verläufe im Zeit- und Frequenzbereich bestätigen grundsätzlich die Theorie. Neben der Grundfrequenz sind die Harmonischen zu erkennen. Entgegen der Erwartung weist die Grundfrequenz der Simulationsvariante 5 die größte Amplitude auf. Der Grund hierfür liegt in der ersten Biegeeigenfrequenz der Walze, die 75 Hz beträgt und direkt angeregt wird. Bei Annahme einer konstanten Walzengeschwindigkeit von 8,33 rad/s und einer Diskretisierung von 125 Kugeln in Laufrichtung ergibt sich eine Anregungsfrequenz von ebenfalls 75 Hz¹. Somit erzeugt das Lumped-Mass-Modell der Variante 5 einen real nicht vorhandenen Resonanzeffekt. Gleichwohl die Auswertungen der Amplituden zeigen, dass dieser Effekt gering ausgeprägt ist, empfehlen die Autoren diesen Umstand dringend zu vermeiden. Hierzu sollten die Eigenfrequenzen des Systems bestimmt und das Lumped-Mass-Modell entsprechend seiner Übertragungsfunktion darauf abgestimmt werden. In diesem Zusammenhang ist es sinnvoll, das Frequenzverhältnis η derart zu wählen, dass der Effekt der Isolation genutzt werden kann. Somit hätte der Modellierungsansatz keinen Einfluss auf die Systemantwort.